Exercícios sobre Função do 2º Grau

1) (UCSal-BA)Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas.

Respostas:

No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto:

f(x) = 0
2x² – 3x + 1 = 0

Os pontos de interseção são:

x = 1 e y = 0
x = 1/2 e y = 0
 

2) Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4ax² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.

∆ < 0
b² – 4ac < 0
(–4)² – 4 * 4 * (–k) < 0
16 + 16k < 0
16k < – 16
k < –1
O valor de k para que a função não tenha raízes reais deve ser menor que – 1

3)Determine os valores de p, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.

Resposta: Para essa situação temos que ∆ ≥ 0.

∆ ≥ 0
b² – 4ac ≥ 0
(–2)² – 4 * (m – 2) * 6 ≥ 0
4 – 4 * (6m – 12) ≥ 0
4 – 24m + 48 ≥ 0
– 24m ≥ – 48 – 4
– 24m ≥ – 52
24m ≤ 52
m ≤ 52/24
m ≤ 13/6

O valor de m que satisfaça a condição exigida é m ≤ 13/

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.


? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

Questões de Função do 1º Grau

1) (U. Católica de Salvador-BA)Seja a função f de R em R definida por f(x) = 54x + 45, determine o valor de f(2 541) – f(2 540).

Resposta: 

f(2 541) = 54 * 2 541 + 45
f(2 541) =  137 214 + 45
f(2 541) = 137 259

f(2 540) = 54 * 2 540 + 45
f(2 540) = 137 160 + 45
f(2 540) = 137 205

f(2 541) – f(2 540) → 137 259 – 137 205 → 54

A diferença será igual a 54.

2) Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(–3) = –7.

Resposta: f(1) = 5

f(1) = a * 1 + b
5 = a + b
a + b = 5

f(–3) = –7
f(–3) = a * (–3) + b
f(–3) = –3a + b
–3a + b = –7

Isolando a na 1º equação

a + b = 5
a = 5 – b

Substituindo o valor de a na 2º equação
–3a + b = –7
–3 * (5 – b) + b = –7
–15 + 3b + b = –7
4b = –7 + 15
4b = 8
b = 2 

Substituindo o valor de b na 1º equação

a = 5 – b
a = 5 – 2
a = 3

A função será definida pela seguinte lei de formação: f(x) = 3x + 2.

Função do 1° Grau

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.

O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

Olá galerinha segue ai alguns exercícios de Números Complexos para vocês exercitarem :

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


02. Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + i)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

 
04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

 
05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2
 
Gabarito :

01. C	02. E	03. C	04. A
05. E

Segue aí uma definição de Números Complexos 

Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x² – 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855).

O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.

Portanto, nessa seção serão abordados assuntos como: concepções básicas do número complexo, operações aritméticas com números complexos, operações trigonométricas com os números complexos, o Plano de Argand-Gauss, entre outros artigos que se relacionam com os números complexos – números de grande importância e aplicabilidade.

Curiosidades

Galerinha , visitem este site abaixo para descobrirem algumas curiosidades matemáticas -> 

• http://magiadamatematica.com/diversoscuriosidades.html

Binômio de Newton

Olá galerinha , segue ai uma pequena definição do Binômio de Newton !

Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, esse estudo veio para complementar o estudo de produto notável.
Produto notável diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo monômio mais o quadrado do segundo monômio.

(a + b)² = a² + 2ab + b² 

Essa forma só é válida se o binômio for elevado ao quadrado (potência 2), se ele estiver elevado à potência 3, devemos fazer o seguinte:

(a + b)³ é o mesmo que (a + b)² . (a + b), como sabemos que (a + b)² = a² + 2ab + b², basta substituirmos:

(a + b)³ =
(a + b)² . (a + b) =
(a² + 2ab + b²) . (a + b) =
a³ + 3a²b + 3ab² + b²

E se for elevado à quarta, à quinta, à sexta potência, devemos utilizar sempre o binômio elevado à potência anterior para resolver.
O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a enésima potência de um binômio.

O estudo de Binômio de Newton engloba:

- Coeficientes Binomiais e suas propriedades
- Triângulo de Pascal e suas propriedades
- Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton .

Segue ai alguns 2 questões sobre probabilidade que é um assunto muito provável de cair nos vestibulares 

3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.

Então:

A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.

1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:

A probabilidade desta bola ser verde é ⁵/₁₂

Boa Noite galera , segue ai as propriedades da probabilidade para continuarmos por dentro ainda mais desse assunto.

. PRIMEIRAMENTE

 Propriedades Importantes :

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:

P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

 

      Probabilidade Condicional :
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.

 Fórmula de Probabilidade Condicional

 P(E₁ e E₂ e E₃ e ...e E_n-1 e E_n) é igual a P(E₁).P(E₂/E₁).P(E₃/E₁ e E₂)...P(E_n/E₁ e E₂ e ...E_n-1).

 Onde P(E₂/E₁) é a probabilidade de ocorrer E₂, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E₁;

P(E₃/E₁ e E₂) é a probabilidade ocorrer E₃, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E₁ e E₂;

P(Pn/E₁ e E₂ e ...E_n-1) é a probabilidade de ocorrer E_n, condicionada ao fato de já ter ocorrido E₁ e E₂...E_n-1.
 
    Exemplo:
 Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
    Resolução:
    Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
    A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
    B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
    Assim:
    P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
    
 Eventos independentes

   

 Dizemos que E₁ e E₂ e ...E_n-1, E_n são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. 

   Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

    P(E₁ e E₂ e E₃ e ...e E_n-1 e E_n) = P(E₁).P(E₂).p(E₃)...P(E_n)

    Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

 

      Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

P(E₁ ou E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ e E₂)

De fato, se existirem elementos comuns a E₁ e E₂, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E₁) e P(E₂). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E₁ e E₂).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:

P(E1 ou E₂ ou E₃ ou ... ou E_n) = P(E₁) + P(E₂) + ... + P(E_n)

 

Exemplo: 

Se dois dados, azul e  branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?

Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

 

Exemplo: 

Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52

B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Divirta-se estudando.

Dica pra estudar nesse final de semana: Estudar através de vídeo interativos que envolvam o assunto que você deseja, como videos musicas abordando assuntos de matemática...
Confiram:
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