. PRIMEIRAMENTE
Propriedades Importantes :
1.
Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2.
A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ
(probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula
de Probabilidade Condicional
P(E1
e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual
a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1
e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde
P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2,
condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1
e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo
fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2
e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada
ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são
eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do
fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula
da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1
e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de
cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira
ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Como
os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira
retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de
cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair
vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada
20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe
que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição.
Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não
influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
Fórmula
da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1
ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
De
fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes
eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2).
Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula
de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1
ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) +
P(E2) + ... + P(En)
Exemplo:
Se dois dados, azul e branco, forem
lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?
Considerando
os eventos:
A:
Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B:
Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo
S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S)
= 6.6
= 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
Exemplo:
Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a
probabilidade de ser um 8 ou um Rei?
Sendo
S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas.
Considere os eventos:
A:
sair 8 e P(A) = 4/52
B:
sair um rei e P(B) = 4/52
Assim,
P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma
carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os
eventos A e B são mutuamente exclusivos.
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