Exercícios sobre Função do 2º Grau

1) (UCSal-BA)Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas.

Respostas:

No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto:

f(x) = 0
2x² – 3x + 1 = 0

Os pontos de interseção são:

x = 1 e y = 0
x = 1/2 e y = 0
 

2) Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4ax² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.

∆ < 0
b² – 4ac < 0
(–4)² – 4 * 4 * (–k) < 0
16 + 16k < 0
16k < – 16
k < –1
O valor de k para que a função não tenha raízes reais deve ser menor que – 1

3)Determine os valores de p, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.

Resposta: Para essa situação temos que ∆ ≥ 0.

∆ ≥ 0
b² – 4ac ≥ 0
(–2)² – 4 * (m – 2) * 6 ≥ 0
4 – 4 * (6m – 12) ≥ 0
4 – 24m + 48 ≥ 0
– 24m ≥ – 48 – 4
– 24m ≥ – 52
24m ≤ 52
m ≤ 52/24
m ≤ 13/6

O valor de m que satisfaça a condição exigida é m ≤ 13/

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.


? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

Questões de Função do 1º Grau

1) (U. Católica de Salvador-BA)Seja a função f de R em R definida por f(x) = 54x + 45, determine o valor de f(2 541) – f(2 540).

Resposta: 

f(2 541) = 54 * 2 541 + 45
f(2 541) =  137 214 + 45
f(2 541) = 137 259

f(2 540) = 54 * 2 540 + 45
f(2 540) = 137 160 + 45
f(2 540) = 137 205

f(2 541) – f(2 540) → 137 259 – 137 205 → 54

A diferença será igual a 54.

2) Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(–3) = –7.

Resposta: f(1) = 5

f(1) = a * 1 + b
5 = a + b
a + b = 5

f(–3) = –7
f(–3) = a * (–3) + b
f(–3) = –3a + b
–3a + b = –7

Isolando a na 1º equação

a + b = 5
a = 5 – b

Substituindo o valor de a na 2º equação
–3a + b = –7
–3 * (5 – b) + b = –7
–15 + 3b + b = –7
4b = –7 + 15
4b = 8
b = 2 

Substituindo o valor de b na 1º equação

a = 5 – b
a = 5 – 2
a = 3

A função será definida pela seguinte lei de formação: f(x) = 3x + 2.

Função do 1° Grau

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.

O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

Olá galerinha segue ai alguns exercícios de Números Complexos para vocês exercitarem :

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


02. Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + i)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

 
04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

 
05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2
 
Gabarito :

01. C	02. E	03. C	04. A
05. E

Segue aí uma definição de Números Complexos 

Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x² – 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855).

O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.

Portanto, nessa seção serão abordados assuntos como: concepções básicas do número complexo, operações aritméticas com números complexos, operações trigonométricas com os números complexos, o Plano de Argand-Gauss, entre outros artigos que se relacionam com os números complexos – números de grande importância e aplicabilidade.

Curiosidades

Galerinha , visitem este site abaixo para descobrirem algumas curiosidades matemáticas -> 

• http://magiadamatematica.com/diversoscuriosidades.html

Binômio de Newton

Olá galerinha , segue ai uma pequena definição do Binômio de Newton !

Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, esse estudo veio para complementar o estudo de produto notável.
Produto notável diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo monômio mais o quadrado do segundo monômio.

(a + b)² = a² + 2ab + b² 

Essa forma só é válida se o binômio for elevado ao quadrado (potência 2), se ele estiver elevado à potência 3, devemos fazer o seguinte:

(a + b)³ é o mesmo que (a + b)² . (a + b), como sabemos que (a + b)² = a² + 2ab + b², basta substituirmos:

(a + b)³ =
(a + b)² . (a + b) =
(a² + 2ab + b²) . (a + b) =
a³ + 3a²b + 3ab² + b²

E se for elevado à quarta, à quinta, à sexta potência, devemos utilizar sempre o binômio elevado à potência anterior para resolver.
O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a enésima potência de um binômio.

O estudo de Binômio de Newton engloba:

- Coeficientes Binomiais e suas propriedades
- Triângulo de Pascal e suas propriedades
- Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton .

Segue ai alguns 2 questões sobre probabilidade que é um assunto muito provável de cair nos vestibulares 

3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.

Então:

A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.

1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:

A probabilidade desta bola ser verde é ⁵/₁₂

Boa Noite galera , segue ai as propriedades da probabilidade para continuarmos por dentro ainda mais desse assunto.

. PRIMEIRAMENTE

 Propriedades Importantes :

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:

P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

 

      Probabilidade Condicional :
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.

 Fórmula de Probabilidade Condicional

 P(E₁ e E₂ e E₃ e ...e E_n-1 e E_n) é igual a P(E₁).P(E₂/E₁).P(E₃/E₁ e E₂)...P(E_n/E₁ e E₂ e ...E_n-1).

 Onde P(E₂/E₁) é a probabilidade de ocorrer E₂, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E₁;

P(E₃/E₁ e E₂) é a probabilidade ocorrer E₃, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E₁ e E₂;

P(Pn/E₁ e E₂ e ...E_n-1) é a probabilidade de ocorrer E_n, condicionada ao fato de já ter ocorrido E₁ e E₂...E_n-1.
 
    Exemplo:
 Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
    Resolução:
    Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
    A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
    B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
    Assim:
    P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
    
 Eventos independentes

   

 Dizemos que E₁ e E₂ e ...E_n-1, E_n são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. 

   Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

    P(E₁ e E₂ e E₃ e ...e E_n-1 e E_n) = P(E₁).P(E₂).p(E₃)...P(E_n)

    Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

 

      Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

P(E₁ ou E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ e E₂)

De fato, se existirem elementos comuns a E₁ e E₂, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E₁) e P(E₂). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E₁ e E₂).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:

P(E1 ou E₂ ou E₃ ou ... ou E_n) = P(E₁) + P(E₂) + ... + P(E_n)

 

Exemplo: 

Se dois dados, azul e  branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?

Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

 

Exemplo: 

Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52

B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Divirta-se estudando.

Dica pra estudar nesse final de semana: Estudar através de vídeo interativos que envolvam o assunto que você deseja, como videos musicas abordando assuntos de matemática...
Confiram:
http://www.youtube.com/watch?v=9kEjcdpqqS8&hd=1

- Boa Noite galera , sei como todos estão cansados do enem, pois sabemos que foi uma prova muito cansativa mas não devemos desistir de aprender e sim adquirir conhecimentos cada vez mais para os vestibulares. Portanto , segue ai um assunto bastante legal que cai bastante nas provas de vestibulares que é sobre probabilidade.

                

PROBABILIDADE

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

     

Experimento Aleatório  :

 É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

   

 Espaço Amostral :

 É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

Exemplo :

Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:

   S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:

a)      A ou B ocorrem;

b)      B e C ocorrem;

c)      Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C sã
4.  o mutuamente exclusivos

 

Resolução:

1.  Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par:  A={K2, K4, K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}

(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;

B  Ç  A^c  Ç  C^c   =   {K3,K5,R2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ

Galerinha amanhã é o tão esperado ENEM , depois de estudar todos os conteúdos, analisar possíveis temas da redação e interpretar incontáveis textos, chegou a hora de colocar o conhecimento à prova do Exame Nacional do Ensino Médio, então tente relaxar ao máximo e ter bastante calma ao realizar sua prova , tenham uma boa noite de sono e um BOA SORTE amanhã !

Análise Combinatória

Segue ai , uma pequena introdução sobre Análise combinatória .

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.

Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.

Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:

- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos

Olá galera , tem um assunto bastante curioso que devemos está por dentro que é A Matemática no Método de Braille que tem haver com a análise combinatória. Então vamos começar , segue ai :

Definindo:
O método consiste em um alfabeto de pontos em relevo, que são organizados em uma tabela com três linhas e duas colunas formando um retângulo, onde pelo menos um se destaca em relação aos demais. As combinações desses pontos dispostos estão relacionados a símbolos que representam letras simples e acentuadas, pontuações, símbolos, notas musicais, sinais algébricos entre outros, propiciando ao deficiente visual a leitura e escrita de qualquer texto. Por exemplo, a letra A é representada pela seguinte combinação:

Devido a esse tipo de configuração, o método admite um número finito de caracteres, pois os pontos em relevo são posicionados em diferentes lugares, dando a ideia das seguintes combinações:

Combinação de seis pontos agrupados um a um – C6,1

Combinação de seis pontos agrupados dois a dois – C6,2

Combinação de seis pontos agrupados três a três – C6,3

- Pratiquem galera em casa exercícios que envolvam esse assunto, e diversos outros que realmente vão está nos vestibulares.

Olá galera , estamos muito perto do enem e devemos está por dentro de tudo o que cai na matemática. Então vamos aprender com um assunto bastante interessante , sobre Análise Combinatória.

- Primeiramente vamos definir para sabermos mais sobre o assunto :

. Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações

- Agora observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória :

1- Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

2- Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.

- Então para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas algumas propriedades da análise combinatória , como :

. Princípio fundamental da contagem
. Fatorial
. Arranjos simples
. Permutação simples
. Combinação
. Permutação com elementos repetidos

- Já que estamos em tempo de estudar para os vestibulares é importante sabermos mais sobre os principais assuntos que caem realmente nas provas de vestibulares , como no Enem . Então vamos conhecer um pouco sobre a geometria espacial , a qual estuda os diversos tipos de sólidos geométricos.


Primeiro definindo :
A Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, em que estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera.

- Vejamos essa imagem como exemplo :Tetraedro , Cubo, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.

Se observarmos cada figura acima, iremos perceber que cada uma tem sua forma representada em algum objeto na nossa realidade como o prisma sendo a caixa de sapatos , o cone casquinha de sorvete, o cilindro o canudo e por ultimo a esfera sendo a bola de isopor.
Então entendemos que essas figuras representadas ocupam um lugar no espaço , pois a geometria espacial é responsável  pelo cálculo do volume (medida do espaço ocupado por um sólido).



. Exercitando temos a seguinte questão do Enem 2010 :

01. (ENEM 2010) Uma fábrica produz barras de chocolate no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a

a) 5 cm.

b) 6 cm.

c) 12 cm.

d) 24 cm.

e) 25 cm.

Resolução :

Volume do paralelepípedo = Volume do cubo. 

3 x 18 x 4 = 〖aresta〗^3

216 = 〖aresta〗^3

 〖aresta〗^3=216

aresta = ∛216

Aresta=  6 .

- Alternativa b.

- Vejamos agora algumas explicações sobre números complexos , para nos ajudar a ter mais conhecimentos para os vestibulares.

Números Complexos

Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:

z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.

 

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0) (0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:

z= (x,y)= x+yi

 

Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i


Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de z
 

y=Im(z), parte imaginária de z

 

Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁=z₂<==> a=c e b=d

 

Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁+z₂=(a+c) + (b+d)

 

Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁-z₂=(a-c) + (b-d)

 
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)^1/2, então:
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i².i = -1.i = -i
i⁴ = i².i²=-1.-1=1
i⁵ = i⁴. 1=1.i= i
i⁶ = i⁵. i =i.i=i²=-1
i⁷ = i⁶. i =(-1).i=-i


. Vamos agora exercitar com as questões abaixo :

1 - Sejam os complexos z₁=(2x+1) + yi e z₂=-y + 2i, determine x e y de modo que z₁ + z₂ = 0

Temos que:
z₁ + z₂ = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0

logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0

Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2


2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i²
z= (x-2) + (x+2)i

Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0

 logo x=2


 3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:

z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58

O conjugado de Z seria então :
 z^- = 11/58 - 13i/58

3º ano

Galera, dá uma olhadinha neste vídeo é muito bom pra quem ta interessado em fazer ADM , estudem e pratiquem !


http://www.youtube.com/watch?v=hJLvnbeEC4w

Estudando LOG , pratiquem.

- Vejam agora algumas questões que envolvem logaritmos :

 1)Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
           

- Resolução :

a)	Igualando a "x"
	aplicando a equivalência fundamental
	Igualando as bases (utilizando base 2)
	Aplicando as propriedades de potências
	Corta-se as bases
	Isolando x
	Simplificando

---

b)	Igualamos a "x"
	Aplicamos a equivalência fundamental
	Pra facilitar o cálculo, vamos transformar a fração
	Agora, transformar em potência
	Aplicamos a propriedade de divisão de potências de bases diferentes
	Simplificamos a função
	Novamente, propriedades de potenciação
	Corta-se as bases,

02) Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:


Resolução :

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a)	Este exercício também não precisa igualar a "x", pois també já existe uma igualdade. Portanto, vamos direto aplicar a equivalência fundamental.
	Vamos fatorar o 81.
	Podemos cortar os expoentes

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b)	Este exercício parece ser bem mais complicado, mas não se assuste! Resolve-se da mesma forma. Vamos direto aplicar a equivalência fundamental.
	Sabemos, pelas propriedades de potenciação, que ao elevar na potência 1/2 estamos na verdade tirando a raiz quadrada, portanto:
	Vamos aplicar as propriedades de radiciação e fatorar o 27:
	Podemos cortar o 3 dos dois lados!

03)Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

Resolução:

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a)	Neste tipo de exercício não é necessário igualar a "x", pois já há uma igualdade, vamos direto aplicar a equivalência fundamental.
	Pronto, já temos a resposta, agora é só desenvolver a potência 3.

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d)	Novamente, vamos direto aplicar a equivalência fundamental.
	Pronto, já temos a resposta, agora é só desenvolver a potência 2.
	Resposta final.

Pra quem quiser praticar mas é so clicar no link abaixo :

http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo/exercicios/ 

http://sovestibular.blogspot.com.br/2008/08/exerccios-de-logaritmos-e-exponencial.html